費馬最後定理

　　費馬猜想 (Fermat's Conjecture) 又稱費馬最後定理、費馬大定理或費馬問題，是數論中最著名的世界難題之一。1637年，法國數學家費馬在巴歇校訂的希臘數學家丟番圖的《算術》第II卷第8命題旁邊寫道：「將一個立方數分為兩個立方數，一個四次冪分為兩個四次冪，或者一般地將一個高於二次的冪分為兩個同次的冪，這是不可能的。關於此，我確信已發現一種美妙的証法，可惜這裏空白的地方太小，寫不下。」費馬去世後，人們找不到這個猜想的証明，由此激發起許多數學家的興趣。歐拉、勒讓德、高斯、阿貝爾、狄利克雷、柯西等大數學家都試証過，但誰也沒有得到普遍的証法。300多年以來，無數優秀學者為証明這個猜想，付出了巨大精力，同時亦產生出不少重要的數學概念及分支。

　　若用不定方程來表示，費馬大定理即：當n < 2時，不定方程xⁿ+ yⁿ = zⁿ沒有xyz≠0的整數解。為了証明這個結果，只需証明方程x⁴+ y⁴= z⁴，(x, y) = 1和方程x^p+ y^p　=　z^p，(x , y) = (x , z) = (y , z) = 1 (p是一個奇素數) 均無xyz≠0的整數解。

　　n = 4的情形已由萊布尼茨和歐拉解決。費馬本人証明了p = 3的情形，但証明不完全。勒讓德 (1823) 和狄利克雷 (1825) 証明了p　= 5的情形。1839年，拉梅証明了p = 7的情形。1847年，德國數學家庫默爾對費馬猜想作出了突破性的工作。他創立了理想數論，這使得他証明了當p < 100時，除了p = 37，59，67這三個數以外，費馬猜想都成立。後來他又進行深入研究，証明了對於上述三個數費馬猜想也成立。在近代數學家中，范迪維爾對費馬猜想作出重要貢獻。他從本世紀20年代開始研究費馬猜想，首先發現並改正了庫默爾証明中的缺陷。在以後的30餘年內，他進行了大量的工作，得到了使費馬猜想成立一些充分條件。他和另外兩位數學家共同証明了當p < 4002時費馬猜想成立。

　　現代數學家還利用大型電子計算機來探索費馬猜想，使p的數目有很大的推進。到1977年為止，瓦格斯塔夫証明了p < 125000時，費馬猜想成立。《中國數學會通訊》1987年第2期據國外消息報導，費馬猜想近年來取得了驚人的研究成果：格朗維爾和希思─布龍証明了「對幾乎所有的指數，費馬大定理成立」。即若命N(x)表示在不超過x的整數中使費馬猜想不成立的指數個數，則

証明中用到了法爾廷斯 (Faltings) 的結果。另外一個重要結果是：費馬猜想若有反例，即存在x > 0，y > 0，z > 0，n > 2，使xⁿ+ yⁿ= zⁿ，則x > 10^1,800,000。

　　到了1993年，自十歲便開始對費馬猜想有興趣的安德魯．懷爾斯（Andrew Wiles）站在英國劍橋大學牛頓研究所的演講廳，將自己花了七年時間秘密研究出的證明寫在黑板上。就這樣沒人能解的費馬大定理，在問題提出後的第358年終於被證明是對的。懷爾斯的證明還經過了兩年的修正，在1995年終於完成了！